İkinci Dereceden Eşitsizlikler Nedir?
İkinci dereceden eşitsizlikler, bir bilinmeyenli ve derecesi en fazla 2 olan eşitsizliklerdir. Bu eşitsizliklerin çözüm kümeleri genellikle işaret tabloları kullanılarak bulunur.
ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≥ 0 veya ax² + bx + c ≤ 0 şeklindeki ifadelere ikinci dereceden eşitsizlik denir.
Adım adım çözümlü örnekler
x² - 5x + 6 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
1. x² - 5x + 6 = 0 denkleminin kökleri bulunur: (x-2)(x-3)=0, kökler x=2 ve x=3. 2. İşaret tablosu oluşturulur. Baş katsayı (a=1) pozitif olduğu için en sağdan (+) başlanır, köklerde işaret değiştirilir. x | -∞ 2 3 +∞ ------------------------ x²-5x+6 | + 0 - 0 + 3. Eşitsizlik > 0 olduğu için pozitif aralıklar çözüm kümesidir: (-∞, 2) U (3, +∞).
x² + 4x + 4 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
1. x² + 4x + 4 = 0 denkleminin kökleri bulunur: (x+2)²=0, kök x=-2 (çakışık kök).
2. İşaret tablosu oluşturulur. Baş katsayı (a=1) pozitif olduğu için en sağdan (+) başlanır. Çakışık kökte işaret değişmez.
x | -∞ -2 +∞
------------------
x²+4x+4 | + 0 +
3. Eşitsizlik ≤ 0 olduğu için bu eşitsizliği sağlayan reel sayı yoktur. Ancak kök olan -2'de ifade 0'a eşit olduğu için çözüm kümesi {-2}'dir.Bilgi kartları
Mini test
S1.-x² + 2x - 1 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
S2.x² - 9 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
S3.x² + x + 1 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? (Δ = b² - 4ac)
Sık yapılan hatalar
Kökleri bulduktan sonra hemen tabloya geçmek. — Doğrusu: Kökleri bulduktan sonra eşitsizliğin işaretine (> , < , ≥ , ≤ ) ve baş katsayının işaretine dikkat ederek tabloyu doğru oluşturmak.
Çakışık köklerde işaret değiştirmek. — Doğrusu: Çakışık köklerde işaret değiştirilmez, aynı işaret devam eder.
Sıkça sorulan sorular
İkinci dereceden eşitsizliklerde kökler reel değilse ne olur?
Eğer denklemin kökleri reel değilse (Δ < 0), ifadenin işareti her zaman baş katsayının işaretiyle aynı olur. Kök yoksa tabloya gerek kalmadan çözüm bulunabilir.
İşaret tablosunda eşitlik (≥ veya ≤) varsa kökler çözüm kümesine dahil edilir mi?
Evet, eğer eşitsizlikte ≥ veya ≤ sembolleri varsa, bulunan kökler çözüm kümesine dahil edilir. Eğer > veya < sembolleri varsa kökler çözüm kümesine dahil edilmez (açık aralık).
İşaret tablosunda payda sıfır olursa ne olur?
Paydanın kökleri (yani paydayı sıfır yapan değerler) hiçbir zaman çözüm kümesine dahil edilmez, çünkü tanımsızlık oluşturur. Bu değerler tabloda çift çizgi ile gösterilir.