Kareyi Tamamlama Nedir?
Kareyi tamamlama, ikinci dereceden denklemleri çözmek için kullanılan bir cebirsel tekniktir. Bu yöntem, denklemi (x+a)² = b veya (x-a)² = b formuna getirerek çözümü kolaylaştırır.
Kareyi tamamlama, bir binomun karesini oluşturmak için bir ifadeye sabit bir terim ekleyip çıkarma işlemidir.
Adım adım çözümlü örnekler
x² + 6x + 5 = 0 denklemini kareyi tamamlama yöntemiyle çözün.
1. Sabit terimi karşıya atın: x² + 6x = -5. 2. x'in katsayısının yarısının karesini (6/2)² = 3² = 9'u her iki tarafa ekleyin: x² + 6x + 9 = -5 + 9. 3. Sol tarafı tam kare olarak yazın: (x + 3)² = 4. 4. Her iki tarafın karekökünü alın: x + 3 = ±2. 5. x için çözün: x = -3 ± 2. Bu da x₁ = -1 ve x₂ = -5 verir.
2x² - 8x + 6 = 0 denklemini kareyi tamamlama yöntemiyle çözün.
1. Denklemi x²'nin katsayısına bölün: x² - 4x + 3 = 0. 2. Sabit terimi karşıya atın: x² - 4x = -3. 3. x'in katsayısının yarısının karesini (-4/2)² = (-2)² = 4'ü her iki tarafa ekleyin: x² - 4x + 4 = -3 + 4. 4. Sol tarafı tam kare olarak yazın: (x - 2)² = 1. 5. Her iki tarafın karekökünü alın: x - 2 = ±1. 6. x için çözün: x = 2 ± 1. Bu da x₁ = 3 ve x₂ = 1 verir.
Bilgi kartları
Mini test
S1.x² - 10x + 9 = 0 denklemini kareyi tamamlama ile çözdüğümüzde elde edilen tam kare ifade hangisidir?
S2.Kareyi tamamlama yöntemiyle çözülen bir denklem (x - 7)² = 25 ise, denklemin kökleri nelerdir?
S3.x² + 4x + 1 = 0 denkleminde kareyi tamamlamak için denkleme eklenmesi gereken sabit terim nedir?
Sık yapılan hatalar
x² + 6x + 5 = 0 denkleminde, (x+3)² = -5 + 9 yerine (x+3)² = 5 + 9 yazmak. — Doğrusu: Sabit terim karşıya atıldığında işareti değişir, bu yüzden x² + 6x = -5 olur. Sonra her iki tarafa (6/2)² = 9 eklenir: x² + 6x + 9 = -5 + 9.
Kareyi tamamlarken (x+a)² = b ifadesinden x = a ± √b yerine x = -a ± √b yazmak. — Doğrusu: Tam kare ifade (x+a)² ise, karekök alındığında x+a = ±√b olur, bu da x = -a ± √b anlamına gelir. Eğer tam kare ifade (x-a)² ise, x-a = ±√b olur ve x = a ± √b bulunur.
Sıkça sorulan sorular
Kareyi tamamlama yöntemi hangi denklemler için kullanılır?
Öncelikli olarak ikinci dereceden denklemlerin çözümü için kullanılır, ancak cebirde farklı ifadeleri basitleştirmek için de kullanılabilir.
Kareyi tamamlama yöntemi, çarpanlara ayırma yönteminden ne zaman daha kullanışlıdır?
Denklemin tam sayı kökleri olmadığında veya çarpanlara ayırmanın zor olduğu durumlarda kareyi tamamlama yöntemi daha sistematik ve genel bir çözüm sunar.
Kareyi tamamlama ve diskriminant (Δ) yöntemi arasındaki ilişki nedir?
Kareyi tamamlama yöntemiyle ikinci dereceden bir denklemin genel çözümü türetildiğinde diskriminant formülü elde edilir. Dolayısıyla, kareyi tamamlama diskriminant yönteminin temelini oluşturur.