Beklenen Değer Nedir?
Olasılık teorisi ve istatistikte beklenen değer, bir rastgele değişkenin alabileceği değerlerin, bu değerlerin olasılıklarıyla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır. Genellikle 'E(X)' veya 'μ' ile gösterilir.
Beklenen değer, bir rastgele değişkenin uzun vadede almasını beklediğimiz ortalama değerdir. Olasılık dağılımının merkezini temsil eder.
Adım adım çözümlü örnekler
Bir zar atıldığında gelen sayının beklenen değerini hesaplayınız.
1. Zarın olası sonuçları: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2. Her bir sonucun olasılığı: P(X=x_i) = 1/6.
3. Beklenen değer formülünü uygula: E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5.Bir madeni parayı 3 kez attığınızda gelen tura sayısının beklenen değerini bulunuz.
1. Olası tura sayıları: {0, 1, 2, 3}.
2. Her bir tura sayısının olasılığı: P(0)=1/8, P(1)=3/8, P(2)=3/8, P(3)=1/8 (Binom dağılımı).
3. Beklenen değer formülünü uygula: E(X) = (0 * 1/8) + (1 * 3/8) + (2 * 3/8) + (3 * 1/8) = 1.5.Bilgi kartları
Mini test
S1.Aşağıdakilerden hangisi beklenen değerin temel anlamını en iyi açıklar?
S2.Bir olayın gerçekleşme olasılığı 0.7 ise, bu olayın beklenen gerçekleşme sayısı (tek denemede) nedir?
S3.Bir zar atıldığında gelen sayının beklenen değerinin tam sayı olması gerekir mi?
Sık yapılan hatalar
Beklenen değer, bir olayın tek seferde gerçekleşme olasılığıdır. — Doğrusu: Beklenen değer, bir rastgele değişkenin uzun vadede alması beklenen ortalamadır.
Beklenen değer her zaman rastgele değişkenin alabileceği değerlerden biridir. — Doğrusu: Beklenen değer, rastgele değişkenin alabileceği değerlerin dışında bir sayı da olabilir (örneğin zar örneğinde 3.5).
Sıkça sorulan sorular
Beklenen değer ile ortalama arasındaki fark nedir?
Ortalama, gözlemlenen bir veri setinin aritmetik ortalamasıdır. Beklenen değer ise bir olasılık dağılımı için teorik ortalamadır.
Beklenen değerin pratik kullanım alanları nelerdir?
Sigorta sektöründe risk hesaplamaları, finans piyasalarında yatırım getirisi tahminleri, oyun teorisinde strateji belirleme gibi birçok alanda kullanılır.
Sürekli rastgele değişkenler için beklenen değer nasıl hesaplanır?
Sürekli rastgele değişkenler için beklenen değer, değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu ile çarpılarak integralinin alınmasıyla hesaplanır (∫ x f(x) dx).