Polinom Bölme Nedir?
Polinom bölme, bir polinomun başka bir polinoma bölünmesi işlemidir. Bu işlem, bölünen, bölen, bölüm ve kalandan oluşur. Polinom bölme, özellikle YKS'de karşımıza çıkan önemli bir konudur.
Polinom bölme, bir P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölündüğünde elde edilen B(x) bölüm ve K(x) kalanını bulma işlemidir. Bu işlem, P(x) = Q(x) * B(x) + K(x) şeklinde ifade edilir ve K(x)'in derecesi Q(x)'in derecesinden küçük olmalıdır.
Adım adım çözümlü örnekler
$$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$ ve $$Q(x) = x - 1$$ polinomları veriliyor. $$P(x)$$'in $$Q(x)$$'e bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
1. Polinom bölme algoritmasını kullanarak $$x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$'i $$x - 1$$'e bölün. 2. Bölme işlemi sonucunda bölüm $$B(x) = x^2 + 3x - 2$$ ve kalan $$K(x) = -1$$ olarak bulunur. 3. Kontrol: $$P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) = (x^2 + 3x - 2)(x - 1) + (-1) = x^3 - x^2 + 3x^2 - 3x - 2x + 2 - 1 = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$$. Doğru.
$$P(x) = 2x^4 - x^3 + 3x - 5$$ ve $$Q(x) = x^2 + 1$$ polinomları veriliyor. $$P(x)$$'in $$Q(x)$$'e bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
1. Polinom bölme algoritmasını kullanarak $$2x^4 - x^3 + 0x^2 + 3x - 5$$'i $$x^2 + 0x + 1$$'e bölün. 2. Bölme işlemi sonucunda bölüm $$B(x) = 2x^2 - x - 2$$ ve kalan $$K(x) = x - 3$$ olarak bulunur. 3. Kontrol: $$P(x) = B(x) \cdot Q(x) + K(x) = (2x^2 - x - 2)(x^2 + 1) + (x - 3) = 2x^4 + 2x^2 - x^3 - x - 2x^2 - 2 + x - 3 = 2x^4 - x^3 - 5$$. Hata var, kontrol edelim. Doğru kontrol: $$(2x^2 - x - 2)(x^2 + 1) + (x - 3) = 2x^4 + 2x^2 - x^3 - x - 2x^2 - 2 + x - 3 = 2x^4 - x^3 - 5$$. Evet, kalan $$x-3$$ olmalı. Doğru bölüm $$2x^2 - x - 2$$. Kontrol: $$(2x^2 - x - 2)(x^2 + 1) + (x - 3) = 2x^4 + 2x^2 - x^3 - x - 2x^2 - 2 + x - 3 = 2x^4 - x^3 - 5$$. Tekrar kontrol: Bölme işlemi: (2x^4 - x^3 + 0x^2 + 3x - 5) / (x^2 + 1). İlk terim 2x^2. (2x^2)(x^2+1) = 2x^4 + 2x^2. Çıkarınca: -x^3 - 2x^2 + 3x - 5. Sonraki terim -x. (-x)(x^2+1) = -x^3 - x. Çıkarınca: -2x^2 + 4x - 5. Sonraki terim -2. (-2)(x^2+1) = -2x^2 - 2. Çıkarınca: 4x - 3. Kalan 4x-3. Bölüm 2x^2 - x - 2. Kontrol: $$(2x^2 - x - 2)(x^2 + 1) + (4x - 3) = 2x^4 + 2x^2 - x^3 - x - 2x^2 - 2 + 4x - 3 = 2x^4 - x^3 + 3x - 5$$. Doğru.
Bilgi kartları
Mini test
S1.$$P(x) = x^2 + 5x + 6$$ polinomunun $$x + 2$$'ye bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
S2.$$P(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 4$$ polinomunun $$x - 1$$'e bölümünden elde edilen bölüm polinomu nedir?
S3.$$P(x) = x^4 - 1$$ polinomunun $$x^2 + 1$$'e bölümünden elde edilen kalan nedir?
Sık yapılan hatalar
Polinom bölmede eksik dereceli terimler ihmal edilebilir. — Doğrusu: Polinom bölmede eksik dereceli terimler, katsayısı sıfır olarak eklenerek işleme dahil edilmelidir. Örneğin, $$x^3 + 2$$ yerine $$x^3 + 0x^2 + 0x + 2$$ yazılmalıdır.
Kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden büyük olabilir. — Doğrusu: Polinom bölme işleminde, kalan polinomun derecesi her zaman bölen polinomun derecesinden küçük olmalıdır. Aksi takdirde bölme işlemine devam edilir.
Sıkça sorulan sorular
Polinom bölme ile kısa bölme (Horner Metodu) arasındaki fark nedir?
Kısa bölme, özellikle $$x - a$$ gibi lineer bir polinoma bölme işlemi için kullanılan daha pratik bir yöntemdir. Polinom bölme ise daha geneldir ve her türlü polinom bölmesinde kullanılabilir.
YKS'de polinom bölme ile ilgili ne tür sorular gelebilir?
Genellikle kalan bulma, bölüm polinomunu bulma veya verilen bilgilere göre bilinmeyen katsayıları bulma şeklinde sorular gelir. Kalan teoremi ve polinom bölme algoritması bu soruları çözmek için temel araçlardır.
Polinom bölme işlemi ne zaman durur?
Kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük olduğunda bölme işlemi durur.