Geometrik Diziler ve Seriler Nedir?
Belirli bir kurala göre ilerleyen sayılar dizisi içinde, her terimin kendinden önceki terime oranının sabit olduğu dizilere geometrik dizi denir. Bu dizilerin toplamına ise geometrik seri adı verilir. YKS'de sıkça karşımıza çıkan bu konuyu gelin birlikte inceleyelim.
Geometrik dizi, ardışık terimleri arasındaki oranın sabit (ortak çarpan) olduğu bir sayı dizisidir. Geometrik seri ise bu dizinin terimlerinin toplamıdır.
Adım adım çözümlü örnekler
İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5. terimini bulunuz.
Dizinin genel terim formülü: a_n = a_1 * r^(n-1). Burada a_1 = 3, r = 2 ve n = 5'tir. Formülde yerine koyarsak: a_5 = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48.
2, 6, 18, ... geometrik dizisinin ilk 4 teriminin toplamını bulunuz.
İlk terim a_1 = 2. Ortak çarpan r = 6/2 = 3. Dizinin 4. terimi: a_4 = 2 * 3^(4-1) = 2 * 3^3 = 2 * 27 = 54. İlk 4 terimin toplamı (geometrik seri): S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80. Alternatif olarak, toplam formülü S_n = a_1 * (r^n - 1) / (r - 1) kullanılırsa: S_4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 2 * (81 - 1) / 2 = 80.
Bilgi kartları
Mini test
S1.İlk terimi 5 ve ortak çarpanı 3 olan geometrik dizinin 4. terimi kaçtır?
S2.1, 2, 4, 8, ... geometrik dizisinin ilk 5 teriminin toplamı kaçtır?
S3.Hangi geometrik seriler yakınsar?
Sık yapılan hatalar
Geometrik dizide toplama işlemi yapılır. — Doğrusu: Geometrik dizide çarpma işlemi (ortak çarpanla) yapılır.
Sonsuz geometrik seriler her zaman bir toplama sahiptir. — Doğrusu: Sonsuz geometrik seriler ancak |r| < 1 ise yakınsar ve bir toplama sahiptir.
Sıkça sorulan sorular
Geometrik dizi ile aritmetik dizi arasındaki temel fark nedir?
Aritmetik dizide terimler arasındaki fark sabittir (ortak fark), geometrik dizide ise terimler arasındaki oran sabittir (ortak çarpan).
Ortak çarpan negatif olabilir mi?
Evet, ortak çarpan (r) negatif olabilir. Bu durumda dizinin terimleri işaret değiştirerek ilerler (örneğin: 2, -4, 8, -16, ...).
Sonsuz geometrik serinin toplamı nasıl hesaplanır?
Eğer serinin ortak çarpanı |r| < 1 ise, toplamı S = a_1 / (1 - r) formülü ile hesaplanır. Aksi takdirde seri ıraksaktır ve bir toplamı yoktur.